Liczba pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy, a jest on taki sam dla monety, koła roweru i orbity planety. Wydaje się szkolną ciekawostką, ale bez niej nie obliczymy pojemności zbiornika, nie zaprojektujemy koła zębatego ani nie opiszemy drgań i fal.
Czym właściwie jest pi
Zmierz obwód dowolnego koła i podziel go przez jego średnicę. Zawsze wyjdzie ta sama liczba, w przybliżeniu 3,14159. Oznaczamy ją grecką literą π. Nie ma znaczenia, czy koło jest malutkie, czy gigantyczne, bo proporcja się nie zmienia.
Pi jest liczbą niewymierną. Nie da się jej zapisać jako zwykłego ułamka, a jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nie zaczyna się powtarzać. Jest też liczbą przestępną. Dowiedziono tego w XIX wieku, a wynika z tego, że nie da się wykonać słynnej kwadratury koła, czyli skonstruować samym cyrklem i linijką kwadratu o polu równym polu danego koła. Przez wieki wielu próbowało i żadna próba nie mogła się udać.
Skąd się wzięła
Stałą proporcję w kole zauważono bardzo dawno, bo wymagała jej codzienna praktyka: budowa kół do wozów, zbiorników na zboże czy okrągłych budowli. Z zachowanych zapisów wiadomo, że starożytni Babilończycy i Egipcjanie używali przybliżeń rzędu 3,125 i 3,16. Jak na obliczenia wykonywane bez nowoczesnych narzędzi, były to wyniki zaskakująco dobre.
Przełom przyniósł grecki uczony Archimedes. Wpisywał w koło i opisywał na nim wielokąty foremne, aż do 96 boków. Obwody tych wielokątów dawały dolne i górne ograniczenie dla pi, więc wiedział, że wartość leży między około 3,1408 a 3,1429. To była pierwsza metoda, która pozwalała podać dokładność przybliżenia, a nie tylko zgadywać.
Podobne metody rozwijano później w innych częściach świata. W Chinach uzyskano bardzo dobre przybliżenie w postaci ułamka 355/113. Z czasem matematycy znaleźli szeregi nieskończone, czyli sumy kolejnych wyrazów, które pozwalają obliczać pi znacznie szybciej niż rysowanie wielokątów.
Znak π jako oznaczenie tej liczby upowszechnił się dopiero w czasach nowożytnych. Użył go na początku XVIII wieku walijski matematyk William Jones, a szeroko spopularyzował Leonhard Euler.
Dlaczego pi jest tak ważna
Pi pojawia się wszędzie tam, gdzie jest koło, obrót lub powtarzalność. Nie tylko w geometrii:
- budownictwo i technika: rury, zbiorniki, tunele, wały, koła zębate i łożyska wymagają obliczeń z użyciem pi,
- fizyka: występuje we wzorach opisujących fale, drgania, wahadło i pole elektryczne,
- astronomia: ruchy po okręgach i elipsach, a więc orbity planet i satelitów,
- elektronika i dźwięk: przebiegi sinusoidalne, na których opiera się analiza sygnałów,
- statystyka: słynny rozkład normalny też zawiera w swoim wzorze pi.
To, że liczba związana z kołem pojawia się w tak odległych dziedzinach, pokazuje, jak głęboko geometria jest wpleciona w opis świata. Dla matematyków pi jest jedną z kilku najważniejszych stałych, obok liczby e czy jedynki.
Praktyczne zastosowania na co dzień
Nie musisz być inżynierem, żeby korzystać z pi. Przydają się cztery wzory:
- obwód koła: 2 · π · r (r to promień),
- pole koła: π · r²,
- objętość walca: π · r² · h (h to wysokość),
- objętość kuli: 4/3 · π · r³.
Z nich da się policzyć, ile ziemi zmieści się w okrągłej donicy, ile farby pójdzie na okrągły stół albo ile wody mieści okrągły basen ogrodowy. Kilka wskazówek, które pomagają uniknąć błędów:
- Sprawdź, czy masz do dyspozycji średnicę, czy promień. Promień to połowa średnicy, a pomylenie ich to najczęstszy błąd.
- Do codziennych obliczeń wystarczy 3,14. Przy większej dokładności użyj przycisku π w kalkulatorze.
- Pamiętaj, że pole rośnie z kwadratem promienia. Podwojenie średnicy czterokrotnie zwiększa pole. Dlatego dwa mniejsze placki to nie to samo co jeden większy o podwojonej średnicy.
- Zachowaj te same jednostki w całym obliczeniu, na przykład wszystko w centymetrach, i dopiero na końcu przelicz wynik.
Ile cyfr pi naprawdę potrzeba
Do większości zadań wystarczają dwie lub trzy cyfry po przecinku. Nawet w bardzo precyzyjnych obliczeniach naukowych potrzeba ich zaledwie kilkadziesiąt, co ilustruje, jak niewielka jest potrzeba dalszego rozwinięcia. Mimo to ludzie chętnie obliczają kolejne cyfry. Dziś robią to komputery, a rekordy służą głównie do testowania sprzętu i algorytmów, nie do zastosowań praktycznych.
Pi ma też swoje święto. Dzień Liczby Pi obchodzi się 14 marca, bo data zapisana w niektórych krajach jako 3.14 przypomina początek jej rozwinięcia. To dobry pretekst, by w szkole czy w domu zrobić proste doświadczenie: owinąć sznurek wokół kubka, zmierzyć go i podzielić przez średnicę. Wynik będzie zbliżony do 3,14, a to najlepszy sposób, by samemu przekonać się, skąd ta liczba się wzięła.